積分、累積與折現

流量率不是存量。每小時收入 5 貨幣單位，持續三小時，貢獻 15 貨幣單位。變化的速率則由積分將小貢獻相加。同一框架還可從邊際成本恢復總成本，並在明確選定的折現模型下估值現金流。

1 黎曼和與定積分

將 $[a,b]$ 劃分為 $a=t_0<\cdots<t_n=b$，選樣本點 $\xi_i\in[t_{i-1},t_i]$，構造

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(t_i-t_{i-1}).$$

若當最大子區間長度趨零時所有此類和趨於同一數，則有界函數黎曼可積，該數是 $\int_a^b f(t)\,dt$。閉有界區間上的連續函數可積：一致連續性使充分短子區間上的振幅都很小，上下和之差至多為 $(b-a)$ 乘該振幅。

積分是帶符號累積。軸下貢獻為負；無符號總面積是 $\int|f|$，一般不是 $|\int f|$。正長度區間上的平均值為 $(b-a)^{-1}\int_a^b f$。

2 微積分基本定理

定理。 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續、$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，則對 $a<x<b$，$F'(x)=f(x)$。若 $G'=f$ 在包含 $[a,b]$ 的區間上成立，則 $\int_a^b f=G(b)-G(a)$。

證明。 $F$ 的差商是從 $x$ 到 $x+h$ 的有向區間上 $f$ 的平均值。它與 $f(x)$ 的差由區間上最大的 $|f(t)-f(x)|$ 界定，且由連續性趨零，故 $F'=f$。於是 $(G-F)'=0$，平均值定理使 $G-F$ 為常數；在 $a$ 和 $b$ 處計算即得結論。$\square$

若邊際成本為 $C'(q)=4+0.04q$、固定成本為 $C(0)=100$，則

$$C(q)=100+\int_0^q(4+0.04s)\,ds=100+4q+0.02q^2.$$

僅憑邊際速率不能推斷積分常數。

3 換元與分部積分

若 $u=g(t)$ 且函數具有所需連續導數，鏈式法則給出

$$\int_a^b f(g(t))g'(t)\,dt=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

變換後的積分限及其次序很重要。乘積法則同樣給出

$$\int_a^b u(t)v'(t)\,dt=[uv]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\,dt.$$

這些公式不允許忽略區間內部的奇點。例如 $\int_{-1}^1 1/t\,dt$ 不是普通黎曼積分，也不是收斂的廣義積分，即使對稱主值存在。

4 連續折現模型

假設確定的連續復利折現率為每年 $r>0$。時間 $t$ 的付款乘以 $e^{-rt}$，則 $[0,T]$ 上連續現金流率 $c(t)$ 的模型現值為

$$V=\int_0^T c(t)e^{-rt}\,dt.$$

對常數 $c$，積分得到 $V=c(1-e^{-rT})/r$。單位檢查：貨幣／年乘以年得到貨幣。當 $r\to0$，極限為 $cT$，與未折現累積一致。對滿足 $c_0\ge0$ 的非負增長流率模型 $c(t)=c_0e^{gt}$，當 $r\ne g$ 時公式為 $c_0[1-e^{-(r-g)T}]/(r-g)$；當 $r=g$ 時為 $c_0T$。

當 $c_0>0$ 時，無窮期積分恰在 $r>g$ 時收斂，此時等於 $c_0/(r-g)$。若 $c_0=0$，流率以及所有有限期或無窮期積分均為零，對所有利率值都是如此；正流率的收斂條件不適用。結論由計算有限積分後令 $T\to\infty$ 得到。若 $r=g$ 且 $c_0>0$，它線性增長；若 $r<g$，它指數增長。這些是有條件的模型計算，不聲稱真實現金流或折現率已知。

5 分層練習

E1 基礎。 若 $C'(q)=3q^2+2$、$C(0)=7$，求 $C(q)$ 和從 $q=1$ 到 $q=3$ 累積的成本。

E2 技巧。 計算 $\int_0^1 2t e^{t^2}\,dt$ 和 $\int_0^1 t e^t\,dt$。

E3 應用。 模型流率為每年 $c(t)=12e^{0.02t}$ 貨幣單位，折現率為每年 0.05。給出有限 $T$ 和無窮期的模型值。

E4 解釋。 淨流率在 $[0,2]$ 上為 $f(t)=2t-2$。求淨累積和絕對流量總和。

6 詳解

S1. $C(q)=7+q^3+2q$。累積成本為 $C(3)-C(1)=(7+27+6)-(7+1+2)=30$。

S2. 令 $u=t^2$，第一個積分為 $\int_0^1e^u\,du=e-1$。第二個積分以 $u=t$、$v'=e^t$ 分部積分，得到 $[te^t]_0^1-\int_0^1e^t\,dt=e-(e-1)=1$。

S3. $r-g=0.03$，故 $V_T=400(1-e^{-0.03T})$ 貨幣單位。因為 $r>g$，無窮期值為 400。將百分數 5 和 2 與小數速率混淆會錯誤改變模型。

S4. 帶符號積分為 $[t^2-2t]_0^2=0$。絕對值積分在 $t=1$ 處分段：$\int_0^1(2-2t)dt+\int_1^2(2t-2)dt=1+1=2$。淨流量為零不代表沒有活動。

總結

積分累積速率，並且只有給定初始值才能唯一恢復原函數。微積分基本定理連接兩種觀點。折現現金流公式要求明確速率約定、一致時間單位，以及無窮期時的收斂檢查。