多生產一件產品的成本是有限差分；導數則描述極小變化的單位極限成本。當模型用連續量近似離散決策時，這一區別很重要。我們用微積分預測變化，再根據可行域檢查候選決策。
1 極限、連續性與導數
對在 a 附近除可能的 a 外有定義的函數，limx→af(x)=L 表示：對每個 ε>0，存在 δ>0 使 0<∣x−a∣<δ 蘊含 ∣f(x)−L∣<ε。若該極限等於其已定義的值 f(a)，函數在 a 連續。
導數為
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a),
前提是有限極限存在。因此 f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o(∣h∣)：誤差除以 ∣h∣ 趨零。可微蘊含連續，因為增量等於 h 乘以零附近有界的差商。連續不蘊含可微：∣x∣ 在零的單側斜率為 −1 和 1。
對 f(x)=x2，差商為 2a+h，故 f′(a)=2a。極限運算法則給出和及數乘法則。展開 fg 的增量得乘積法則 (fg)′=f′g+fg′；複合局部線性近似得到鏈式法則 (f∘g)′(a)=f′(g(a))g′(a)，其中兩個導數均須存在。商法則要求分母非零。
例。 若 C(q)=100+4q+0.02q2，則 C′(q)=4+0.04q。當 q=50，邊際成本為每件 6 貨幣單位。下一件的精確成本是 C(51)−C(50)=6.02，不是 6；線性估計省略了二次餘項 0.02(1)2。
2 平均值定理與導數能說明甚麼
平均值定理。 若 f 在 [a,b] 連續、在 (a,b) 可微，且 a<b，則存在 c∈(a,b) 使
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a).
證明。 減去割線，令 g(x)=f(x)−f(a)−[f(b)−f(a)](x−a)/(b−a)，則 g(a)=g(b)=0。由極值定理，g 或為常數，或在內部取得非零最大值或最小值。在內部可微極值處，正、負差商迫使 g′(c)=0。整理得到結論。□
因此區間上處處 f′≥0 蘊含 f 在該處非遞減。若 ∣f′∣≤M，則 ∣f(b)−f(a)∣≤M∣b−a∣。僅在一點計算導數不能給出這種全區間界。
3 利潤與約束決策
設需求價格 p(q)=30−0.1q、成本 C(q)=100+6q+0.05q2，模型定義域為 0≤q≤100。收入為 R(q)=qp(q)，不只是 p(q)。利潤為
Π(q)=R(q)−C(q)=−100+24q−0.15q2.
導數在 q=80 為零。由於 Π′′=−0.3<0，導數在 80 前為正、之後為負，所以 80 是定義域上唯一全局最大點。利潤為 860；相比之下，零處為 −100、100 處為 800。這是虛構模型的最優決策，不是對真實企業的建議。
內部可微最優點必須導數為零，但反過來不成立：x3 在零的導數為零，卻沒有局部極值。還須檢查端點和不可微的可行點。數量為整數時，應比較附近可行整數及相關邊界，而不是直接宣佈分數生產方案。
當 f(q) 為正且 q>0，無量綱彈性為 E(q)=qf′(q)/f(q)。它近似相對響應：Δf/f≈EΔq/q。當 f(q)=0 時它無定義，且不是精確的有限百分比公式。
4 分層練習
E1 基礎。 從定義推導 1/x 在非零 a 處的導數。
E2 邊際解釋。 對 C(q)=40+5q+q2/10，比較 C′(10) 與 C(11)−C(10)。
E3 優化。 分別在 [0,5] 和 [0,10] 上最大化 P(q)=−q2+14q−10。
E4 證明。 若區間上 f′(x)=0，證明 f 在該區間為常數。解釋在不連通定義域上為何不一定成立。
5 詳解
S1. 對充分小且 a+h=0 的 h，差商為 [1/(a+h)−1/a]/h=−1/[a(a+h)]，趨於 −1/a2。
S2. C′(q)=5+q/5，故導數為 7。精確增量為 5+(121−100)/10=7.1。導數單位是每單位的貨幣量，一單位增量的單位是貨幣；數值比較使用了一個單位的增量。
S3. P′=14−2q。它在 [0,5) 上為正，所以第一個最大值是 P(5)=35。在 [0,10] 上它在 7 處由正變負，最大值為 P(7)=39。第一個可行區間之外的駐點不能在其中選取。
S4. 對區間內任意兩點，平均值定理給出 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)=0。在 (−2,−1)∪(1,2) 上，令函數在第一分量取 0、第二分量取 1；它在定義域上處處導數為零，卻不在整個定義域上為常數。
總結
導數是局部線性變化率；有限差分是實際變化。平均值定理連接變化率與整個區間的行為。優化需要模型定義域、邊界候選值，以及所選駐點確實最大化目標的論證。
