二重積分與累次積分

固定整數 $n\ge1$，在 $\mathbb R^n$ 上使用歐幾里得範數。集合若包含在某個有限半徑的球內，就稱為有界；若補集是開集，就稱為閉集；若它的每個由 $\mathbb R^n$ 中開集組成的覆蓋都有有限子覆蓋，就稱為緊集。我們使用實數完備性，包括閉區間套性質。

有限維歐幾里得空間的 Heine–Borel 定理

定理。 集合 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊致，當且僅當它閉且有界。空集具有這三種性質。

緊致推出有界。 開球 $B(0,m)$（整數 $m\ge1$）覆蓋 $K$。取有限子覆蓋後，$K$ 包含在其中最大的球內。

緊致推出閉。 設 $K\ne\varnothing$ 且 $y\notin K$。開球 $B(x,\|x-y\|/2)$（$x\in K$）覆蓋 $K$。取中心為 $x_1,\ldots,x_r$ 的有限子覆蓋，令 $\delta=\min_i\|x_i-y\|/2>0$。若 $z$ 在以 $x_i$ 為中心的所選球內，三角不等式給出 $\|z-y\|>\|x_i-y\|/2\ge\delta$。所以 $B(y,\delta)$ 不與 $K$ 相交，補集是開集。

閉且有界推出緊致。 設非空的 $K$ 閉且有界，把它包含在閉立方體 $Q_0=[-M,M]^n$ 內，其中 $M>0$。假設 $K$ 的某個開覆蓋沒有有限子覆蓋。把每個坐標區間分成兩個閉半區間，所得 $2^n$ 個閉子立方體覆蓋 $Q_0$。至少一個子立方體與 $K$ 的交集不能由給定覆蓋族有限覆蓋；否則把有限多個有限子覆蓋合併，就能覆蓋 $K$。選取這樣的子立方體並重複，得到閉立方體套 $Q_j$，其邊長為 $2M/2^j$，且 $K\cap Q_j$ 不能被有限覆蓋，因而非空。

對每個坐標使用閉區間套性質，得到公共坐標值；合起來得到 $p\in\bigcap_jQ_j$。$Q_j$ 中任意兩點的距離不超過 $2M\sqrt n/2^j$，所以交集中只有 $p$。選取 $x_j\in K\cap Q_j$，則 $\|x_j-p\|\le2M\sqrt n/2^j\to0$。閉集包含這種極限：若 $p$ 在開補集中，$p$ 周圍某個開球就會使最終的 $x_j$ 落在 $K$ 外，矛盾。因此 $p\in K$。

覆蓋中有一個成員 $O$ 含 $p$，由開放性，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B(p,\varepsilon)\subseteq O$。當 $j$ 足夠大時，$Q_j$ 的每點到 $p$ 的距離都小於 $\varepsilon$，於是單個 $O$ 就覆蓋 $K\cap Q_j$，與 $Q_j$ 的選取矛盾。因此每個開覆蓋都有有限子覆蓋。這裏 $2^n$ 是有限數；若改成無限多個子塊，這個論證就不再成立。

連續像與極值

定理。 若 $K\subseteq\mathbb R^n$ 緊致，且 $F:K\to\mathbb R^m$ 相對於 $K$ 連續，則 $F(K)$ 緊致。特別地，非空緊集 $K$ 上的連續函數 $f:K\to\mathbb R$ 有界，並達到最大值和最小值。

證明。 $F(K)$ 的開覆蓋 $(O_i)$ 的原像是相對開集 $F^{-1}(O_i)=K\cap U_i$，其中 $U_i$ 在 $\mathbb R^n$ 中開。這些 $U_i$ 覆蓋 $K$，所以有限多個足夠。對應的 $O_i$ 覆蓋 $F(K)$，證明了像的緊致性。對標量函數 $f$，由已證明定理的一維情形，其像非空、閉且有界。令 $a=\sup f(K)$。對每個 $j\ge1$，由上確界定義，可取 $y_j\in f(K)$ 使 $a-1/j<y_j\le a$。於是 $y_j\to a$，閉性使 $a$ 屬於像，所以最大值可達。對 $-f$ 使用同一論證即得最小值。該結論證明存在性，而不提供極大點的計算公式。

緊緻性推出有界性與一致連續性

設 $K\subset\mathbb R^n$、$n\ge1$ 為緊集，$u:K\to\mathbb R$ 相對於 $K$ 連續。緊緻採用開覆蓋有有限子覆蓋的定義；空集情形無礙。對每個 $p\in K$，連續性給出 $r_p>0$，使 $q\in K\cap B(p,r_p)$ 時 $|u(q)-u(p)|<1$。從這些球中選出有限子覆蓋，則有限多個數 $|u(p)|+1$ 中最大者就是 $|u|$ 的上界。

給定 $\varepsilon>0$，改選 $r_p>0$，使 $q\in K\cap B(p,r_p)$ 時 $|u(q)-u(p)|<\varepsilon/2$。有限多個球 $B(p_i,r_{p_i}/2)$ 覆蓋 $K$。令 $\delta=\min_i r_{p_i}/2>0$。若 $x,y\in K$ 且 $\|x-y\|<\delta$，選取 $\|x-p_i\|<r_{p_i}/2$ 的一個中心，則 $x,y$ 都在 $B(p_i,r_{p_i})$ 內，故 $|u(x)-u(y)|<\varepsilon$。這在相對拓撲下證明了一致連續性，沒有將函數延拓到 $K$ 外。有限維歐幾里得空間的閉有界集緊緻，由另行實際嵌入的 Heine–Borel 證明保證。本論證不使用積分，也不假設 Fubini 定理。

乘積網格的 Darboux 判據與任意矩形取樣

設 $R=[a,b]\times[c,d]$，其中端點有限、$a<b$、$c<d$，且 $f:R\to\mathbb R$ 滿足 $|f|\le M<\infty$。乘積網格由 $a=x_0<\cdots<x_r=b$、$c=y_0<\cdots<y_s=d$ 兩個分割組成，小格 $C_{ij}$ 的面積為 $A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$。定義 $m_{ij}=\inf_{C_{ij}}f$、$M_{ij}=\sup_{C_{ij}}f$，以及

每個取樣和均介於兩者之間。細分後下和不減、上和不增，因為各子格面積之和等於母格面積。合併兩個網格的全部座標切點，即得共同細分。因此任意兩網格均有 $L(f,P)\le U(f,Q)$。實數完備性給出有限的 $I_-=\sup_P L(f,P)\le I_+=\inf_P U(f,P)$。兩者等於同一數 $I$，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$ 存在網格使 $U-L<\varepsilon$。一方面該差控制 $I_+-I_-$；另一方面，分別取距 $I_+$、$I_-$ 小於 $\varepsilon/2$ 的上和、下和，再共同細分即可。

下面補上與原定義中任意小矩形的聯繫。矩形鋪分是有限多個閉、座標軸平行、正面積矩形覆蓋 $R$，其內部互不相交，邊可以重合；網格尺度為最大小格直徑。下和及上和仍按同一定義計算。將所有小矩形邊的座標加入切點便得乘積網格細分，故該鋪分的下和不超過 $I$，上和不小於 $I$。

固定一個滿足差小於 $\varepsilon/2$ 的乘積網格 $P$。設其內部豎線、橫線數分別為 $v,h$。對尺度小於 $\delta$ 的任意鋪分 $Q$，把接觸這些線的小格稱為壞格。每個壞格都包含在某條線周圍寬度為 $2\delta$ 的帶中，所以壞格面積之和至多為

這是有限矩形面積的初等估計：將矩形和條帶的全部邊共同細分後，只需對互不重疊小格的面積相加，不使用積分。其他每格都包含在 $P$ 的某一母格中，其振幅乘面積由母格振幅乘該格面積控制。對所有好格求和，至多得到 $U(f,P)-L(f,P)$；壞格振幅至多 $2M$。因此

取 $\delta$ 使最後一項小於 $\varepsilon/2$；若其係數為零，該項不限制 $\delta$。每種取樣所得和與 $I$ 的差都小於 $\varepsilon$。故收斂對所有充分細的矩形鋪分成立，並非僅對固定網格的細分成立。

反過來，若所有充分細的矩形鋪分和所有取樣均趨於同一個 $I$，這當然適用於乘積網格。在一個固定細網格的每格中，按上確界定義選擇函數值距該格上確界小於 $\eta/|R|$ 的取樣點，所得和與 $U$ 的差不超過 $\eta$；對下確界同理。先使用對所有取樣的一致控制，再令 $\eta\downarrow0$，便使 $U-L$ 任意小。因此有界函數的 Darboux 判據與原先按任意小格直徑定義的取樣極限等價。

一維版本以區間和長度作同樣構造。具體地，將全部切點共同細分；接觸某個固定的 $q$ 個內切點之一的細區間，總長度至多 $2q\delta$。同樣的 $2M$ 振幅估計給出任意細區間取樣的收斂，接近上、下確界的取樣給出逆命題。以下使用這一正常一維黎曼積分。取樣和相加後取極限證明線性；逐點比較後取極限證明單調性；在固定切點細分證明區間可加性。具體地，若函數在整個區間可積，在切點處細分一個差很小的分割，每個子區間的差不超過總差，故兩個限制均可積。反之，將兩個限制的差很小的分割合併，下和及上和分別相加，故整個積分等於兩個極限之和。常函數的積分等於函數值乘長度。若一個有界改變量只支撐在有限多個點上，用總長度任意小的有限多個區間圍住這些點，其絕對值的上和不超過上界乘總長度，故該改變量積分為零。這也證明改變端點值不影響正常積分。

若 $R$ 某邊長度為零，所有面積和及二重積分定義為零，零長度區間的積分也為零。上述正面積論證不在除以零面積後繼續使用。

可積函數且每條截面可積時的 Fubini 定理

設 $a<b$、$c<d$，有界 $f:R\to\mathbb R$ 黎曼可積，且對每個 $x\in[a,b]$，截面 $y\mapsto f(x,y)$ 在 $[c,d]$ 正常黎曼可積。令 $F(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy$，則 $|F(x)|\le M(d-c)$。我們證明 $F$ 正常黎曼可積，且

對任意乘積網格，用上述 $m_{ij},M_{ij}$，令 $A_i=\sum_jm_{ij}\Delta y_j$、$B_i=\sum_jM_{ij}\Delta y_j$。對每個 $x\in[x_{i-1},x_i]$，一維可加性及比較性質給出 $A_i\le F(x)\le B_i$。在整個閉 $x$-區間上取下、上確界，得到

給定 $\varepsilon>0$，由 $f$ 可積，存在網格使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。上式使外層的 Darboux 差小於 $\varepsilon$，因而證明外層可積，而非預先假設。兩個積分 $\iint_R f$ 與 $\int_a^b F$ 都在 $[L(f,P),U(f,P)]$ 內，故其差的絕對值不超過 $\varepsilon$，於是相等。若改為每條水平截面正常可積，交換座標名稱後的同一論證給出水平公式。只有兩組截面積分都存在時，才同時斷言兩個次序。矩形寬度為零時，只要式中截面積分存在，內層或外層區間長度為零便給出同樣等式。

連續矩形及區間的可積性

設 $f$ 相對於閉矩形 $R$ 連續。若 $|R|>0$，緊緻性與有限覆蓋證明給出有界性及一致連續性。對任意 $\varepsilon>0$，選 $\delta>0$，使距離小於 $\delta$ 的點的函數值之差小於 $\varepsilon/(2|R|)$。小格直徑均小於 $\delta$ 的網格滿足

Darboux 判據證明可積性，鋪分橋接論證進一步保證原定義中任意矩形取樣的收斂。緊區間上的同一證明用長度代替面積，零長度區間另行處理。因此連續 $f$ 的每條固定座標截面均正常可積，已證截面定理給出兩個累次積分公式。而且 $F(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy$ 連續：在 $x,x_0$ 處的差的絕對值不超過

由一致連續性，該式趨於零。若 $R$ 的某邊長度為零，連續截面的一維正常積分仍存在，而有關二重及累次積分均為零。不需變數替換或測度論定理。

連續函數圖像有任意小的矩形覆蓋

若 $g:[a,b]\to\mathbb R$ 連續且 $a<b$，則對每個 $\tau>0$，其圖像都能用總面積小於 $\tau$ 的有限多個開、座標軸平行矩形覆蓋。令 $A=b-a>0$，取正的 $\omega,\eta$，滿足 $A(\omega+2\eta)<\tau/2$。一致連續性容許選分割 $a=x_0<\cdots<x_N=b$，使每個子區間的振幅不超過 $\omega$。記該區間上的下、上確界為 $m_i,M_i$。開矩形

覆蓋整個圖像，包括切點。它們的總面積至多 $(A+2Nr)(\omega+2\eta)$，當 $r>0$ 足夠小時小於 $\tau$。有限豎直或水平線段可用薄開矩形作同樣覆蓋，單點可用小正方形覆蓋。對有限個圖像及豎直或水平線段，把容許總面積分攤後相加，仍有這一性質。

還需控制接觸緊集 $E$ 的小格，而非僅控制 $E$ 中的點。選取總面積小於 $\tau$ 的有限開矩形覆蓋。對每個 $p\in E$，在某個覆蓋矩形內取球 $B(p,r_p)$。從 $B(p,r_p/2)$ 中選出有限子覆蓋。若 $\delta<\min_i r_{p_i}/2$，則每個直徑小於 $\delta$ 且接觸 $E$ 的小格，都完全包含在某個所選矩形內：選一個交點，再用三角不等式即可。因此內部互不相交的這些小格，其面積之和小於 $\tau$，這是有限矩形面積的可加性。下文使用的零面積性質恰為此性質，不涉及任意不規則邊界。

不假設環境延拓的連續第一類區域

設有限端點 $a\le b$，連續函數 $g_1,g_2:[a,b]\to\mathbb R$ 處處滿足 $g_1\le g_2$，並令

只假設 $f:D\to\mathbb R$ 相對於 $D$ 連續。因 $g_1,g_2$ 有界，$D$ 有界。$D$ 也閉：其點列的極限仍保有 $x\in[a,b]$，並由連續性保留兩個不等式；亦可直接對區間外或嚴格違反某個不等式的點，取小開球避開 $D$。由此 $D$ 緊緻，故 $|f|\le M$，且 $f$ 在 $D$ 上一致連續；不需要它能連續延拓到某個周圍矩形。

先設 $a<b$。取 $c<d$，分別嚴格小於所有 $g_1$ 的值及嚴格大於所有 $g_2$ 的值。在 $R=[a,b]\times[c,d]$ 上，定義 $h$ 在 $D$ 內等於 $f$，在 $D$ 外等於零。$D$ 的邊界位於兩個圖像及兩條豎直邊界線段上：若 $a<x<b$ 且 $g_1(x)<y<g_2(x)$，連續性保證該點是內點；閉集 $D$ 外的點有避開 $D$ 的開鄰域。上述圖像和線段的有限並 $E$ 為緊集，且有剛證明的小覆蓋性質。

對細乘積網格，把接觸 $E$ 的格稱為壞格，其總面積可小於任意預定的 $\tau>0$。每個其他格要麼完全在 $D$ 中，要麼完全在其外：否則，連接格中內、外兩點的線段從閉集 $D$ 首次離開時，必在格中產生一個邊界點，矛盾。由一致連續性，可使每個好內格的振幅不超過任意預定的 $\eta>0$；好外格振幅為零，壞格振幅至多 $2M$。同時滿足兩個尺度要求後，

對目標誤差 $\varepsilon>0$，取 $\eta<\varepsilon/(2|R|)$、$\tau<\varepsilon/(4(M+1))$。這證明有界零延拓 $h$ 正常黎曼可積。只比較了 $D$ 內兩點的 $f$ 值，沒有假定環境上的延拓連續。

對固定 $x$，$f$ 在閉區間 $[g_1(x),g_2(x)]$ 上的限制連續。在這兩個端點處分割 $[c,d]$，並忽略有限多個端點值，便知 $h$ 的每條截面正常可積，且

若兩個端點相同，$h$ 的該截面只支撐在一個點上，兩個積分均為零。現在應用已證有界函數截面定理，得到外層正常積分存在，以及第一類區域公式

同一好格／壞格證明適用於任意包含 $D$ 的正面積、座標軸平行包圍矩形：控制邊界的集合 $E$ 不變，$D$ 外的延拓仍為零。$x$ 在 $[a,b]$ 外時，每條豎直截面為零；對每個 $x\in[a,b]$，包括 $x=a,b$，前述正常截面分割論證均適用。因此在該包圍矩形上應用已證截面定理，再用一維區間可加性及端點值不變性，便得到同一右側。故定義不依賴所取包圍矩形；這裏不假設環境上的連續延拓。只在 $E$ 上改變有界值也不影響二重積分，因為改變量絕對值的上和不超過其上界乘壞格總面積。

事實上內層積分 $G(x)$ 連續。對 $x,x_0$，先在兩個積分區間的重疊部分比較；那裏 $f(x,y)$、$f(x_0,y)$ 都是在 $D$ 中的已定義值。當 $|x-x_0|$ 小時，一致連續性使差不超過 $\eta$。剩餘區間的總長度不超過 $|g_1(x)-g_1(x_0)|+|g_2(x)-g_2(x_0)|$。故

此式趨於零，也涵蓋重疊為空及區間退化的情形。若處處 $g_1=g_2$，整個區域是圖像，第一類區域公式兩邊均為零。若 $a=b$，$D$ 是豎直線段，由薄矩形覆蓋知二重積分為零，連續性保證唯一截面正常可積，而外層零長度積分為零。交換座標名稱，在連續且有序的水平上下界及同一區域上的相對連續性下，得到水平的第二類區域公式。這不推廣到任意 Jordan 區域、不可積截面、無界函數或反常積分。

在矩形上，把二維黎曼和按垂直列分組。每一列的內和近似固定 $x$ 時對 $y$ 的積分，其餘和再近似外層積分。閉矩形上的連續性提供控制極限所需的一致性。對簡單區域，可把函數乘指示函數後在矩形積分；上下邊界以外的切片貢獻為零。這解釋公式的來由；完整收斂論證由定理保證。