MATH1540：大學財經數學

座標偏導數、整體可微性、鏈式法則與局部敏感度模型。

偏導數與局部模型

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章節 1

偏導數與局部模型

區分座標變化率與整體線性近似，運用點態鏈式法則，並檢查敏感度模型的定義域與單位。

偏導數與局部模型
區分座標變化率與整體線性近似，運用點態鏈式法則，並檢查敏感度模型的定義域與單位。
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偏導數與梯度
從座標方向的變化率出發，理解梯度、高階偏導數以及交換求導順序的條件。
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可微性與線性近似
通過線性映射及其誤差定義可微性，並利用連續偏導數證明多方向上的統一近似。
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鏈式法則與方向導數
按正確次序複合雅可比矩陣，並用梯度解釋曲線路徑、方向變化率和等值集的切向量。
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章節 2

線性方程組

線性方程組

方程與解集
把線性方程組看成一組同時成立的條件，清楚分類其解集，並理解為何方程操作不會改變解集。
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章節 3

矩陣與消元

矩陣與消元

矩陣基礎
先把矩陣當成真正的數學對象來讀：大小、元素、相等、基本運算，以及方程組如何寫成矩陣形式。
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增廣矩陣與行變換
把方程組寫成 `Ax = b` 和 `[A|b]`，並嚴格理解為甚麼基本行變換會保留解集。
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高斯消元與最簡行階梯形
高斯消元保持方程組的解集不變，並透過主元方程揭示解與自由變量的關係。
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解集的類型
用 RREF 嚴格分類線性方程組的解集，辨認主變量與自由變量，並說明為甚麼系統只能有唯一解、無限多解或無解。
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章節 4

矩陣代數

矩陣代數

矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組
理解何時可以做矩陣乘法、行乘欄規則和單位矩陣怎樣運作，以及矩陣乘法如何表示線性方程組。
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轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣
用轉置、對稱性與可交換乘積去理解矩陣結構與代數行為。
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章節 5

解的結構

解的結構

齊次方程組與零空間
零空間描述解之間的差、自由座標，以及一致方程組的完整解集。
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章節 6

可逆性與秩

可逆性與秩

RREF 唯一性與秩的良定性
證明每個行等價類只有一個最簡行階梯形，再用這個定理說明秩不依賴所選行化簡路徑。
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可逆矩陣
可逆性連接可逆的矩陣作用、每個右端對應的唯一解，以及逆矩陣的代數性質。
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章節 7

空間與基

空間與基

向量空間
仔細定義向量空間，比較標準例子，並證明之後所有張成、基底與維數論證都會用到的第一批結構性定理。
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子空間
仔細使用子空間測試，證明最基本的結構結論，並掌握線性代數裡反覆出現的矩陣例子與方程例子。
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線性組合與張成
把張成視為一個精確的輸出集合，將它與線性系統連起來，並學會判斷一個向量能否由指定向量組合而成。
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線性相依與線性獨立
辨認向量列中的冗餘，透過定義與行化簡測試線性獨立，並讀懂低維幾何意義。
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基底與維數
基底給出唯一的座標表示；維數記錄所有基底的共同大小，並提供判斷張成與線性獨立的準則。
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欄空間、行空間與秩
把矩陣同時讀成輸出的來源與線性關係的來源，再用秩去數清楚真正獨立的方向有多少。
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基底延伸與基變換
把基底定理變成可使用的工具：延伸線性獨立組、替換舊基向量，並比較兩組基底下的座標。
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章節 8

行列式

行列式

行列式與餘因子展開
先用子式與餘因子仔細定義行列式，再理解餘因子展開如何把一個純量變成方陣結構的精確摘要。
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行變換、乘積與可逆性
精確追蹤行變換如何改變行列式，再把這種行為連到乘積公式、逆矩陣與可逆性測試。
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轉置、欄變換與克拉默法則
用轉置與欄變換從另一個角度理解行列式，再把餘因子、伴隨矩陣、逆矩陣與克拉默法則連繫起來。
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章節 9

特徵值與對角化

特徵值與對角化

特徵值、特徵向量與特徵空間
由方程 Av=λv 定義特徵值與特徵向量，再把同一個概念改寫成零空間與行列式問題，令整個結構變得可計算。
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對角化與相似
把對角化理解成由特徵向量組成的基變換，再用相似關係說明何時矩陣可以在不改變核心特徵值資料的情況下被簡化。
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特徵多項式與對角化測試
用特徵多項式、代數與幾何重數，以及「互異特徵值」測試去判斷何時特徵值資料已足夠推出可對角化。
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章節 10

正交性

正交性

內積、範數與夾角
定義 R^m 上的標準內積與範數，再把這些公式連到長度、夾角與最基本的不等式結構。
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正交集與標準正交基
利用正交性建立正交基與標準正交基，然後在不每次重解線性系統的情況下直接讀出坐標係數。
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Gram-Schmidt 正交化
把 Gram-Schmidt 過程用來把一組基底轉成正交基或標準正交基，同時保持張成空間不變。
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Cauchy-Schwarz 與三角不等式
把 Cauchy-Schwarz 與三角不等式當作內積空間中控制長度、夾角與等號條件的兩條核心估計。
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章節 11

歐幾里得幾何

歐幾里得幾何

向量、內積與距離
從座標建立歐幾里得長度、夾角與正交投影，並證明控制距離的基本範數不等式。
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直線、平面與體積
在參數式與方程之間轉換線性幾何對象，推導最近點公式，並用叉積及三重積計算面積與體積。
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章節 12

定義域、極限與連續

定義域、極限與連續

定義域與點集
用開球、內部、邊界、閉包和路徑描述多元函數的定義域，並證明這些概念之間的聯繫。
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數列與多元極限
通過收斂、數列判據、彎曲路徑和統一估計，證明或否定歐幾里得空間中的極限。
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連續性與緊緻性
研究相對於定義域的連續性、連續延拓、緊集、可達到的最值和一致連續性。
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有限維緊致性與可達極值
有限維緊致性與可達極值
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章節 13

泰勒模型與優化

泰勒模型與優化

中值估計與泰勒近似
沿線段運用一元微積分，建立多元函數估計及二階近似。
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臨界點與極值
尋找並分類駐點，區分局部判別與整體最優化。
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約束最優化與拉格朗日乘數
檢查正則性、存在性與例外點，尋找約束極值的候選點。
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Taylor 模型：例題與練習
Taylor 模型：例題與練習
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任意階多元 Taylor 定理
多重指標係數、積分與 Lagrange 餘項及局部 Peano 定理，附完整證明、例題及練習解答。
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章節 14

重積分

重積分

二重積分與累次積分
從面積和建立二重積分，並由區域幾何選擇積分次序。
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三重積分與三維坐標
在直角、柱及球坐標中建立體積積分。
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變數替換與雅可比行列式
同時變換積分區域與面積比例，注意重複覆蓋及方向。
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章節 15

積分證明基礎

積分證明基礎

變量替換的基礎：Jordan 覆蓋與雙側小立方體體積估計
推導邊界的有限覆蓋估計，以及小立方體經變換後體積的一致雙側估計。
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C¹ 變量替換：有限維 Jordan/Riemann 證明
證明緊 Jordan 區域與有界 Riemann 可積函數的非線性行列式公式，並明確覆蓋和邊界條件。
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章節 16

梯度下降

梯度下降

梯度下降：方向、步長與收斂
梯度下降：方向、步長與收斂
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章節 17

完整譜方法

完整譜方法

實對稱矩陣的正交特徵基
實對稱矩陣的正交特徵基
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章節 18

虛構估值與預算模型

虛構估值與預算模型

預算約束下的二次模型
預算約束下的二次模型
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假設產出的表示無關估值
假設產出的表示無關估值
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等式預算約束下的正定二次目標
等式預算約束下的正定二次目標
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