歐氏幾何與空間曲線

軌跡不僅僅是三個坐標圖像：速度、切線方向和曲率描述不依賴特定畫法的幾何性質。向量還能表達直線、平面和距離，而不必為竪直或水平的特殊情況另寫公式。本章將這些幾何對象與微分學聯繫起來。

1 點積與叉積

對於 $u,v\in\mathbb R^3$，$u\cdot v=\sum u_iv_i$，$\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$。Cauchy–Schwarz 不等式給出 $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$，所以非零向量間的角滿足 $\cos\theta=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)$。正交指點積為零。

叉積為

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

它與兩個輸入向量垂直，並遵循右手定向約定。展開坐標證明 $\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2$，故 $\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta$，即平行四邊形面積。數量三重積 $u\cdot(v\times w)$ 是有符號的平行六面體體積，絕對值為幾何體積。

過 $p$、非零方向為 $v$ 的直線為 $p+tv$。過 $p$、非零法向量為 $n$ 的平面為 $n\cdot(x-p)=0$。將 $q-p$ 分解為平行和垂直於 $n$ 的分量，得到點到平面距離

$$\frac{|n\cdot(q-p)|}{\|n\|}.$$

點到直線的距離為 $\|(q-p)\times v\|/\|v\|$，可由垂直分量或三角形面積恆等式得到。

2 速度、弧長與正則性

可微曲線為 $r:I\to\mathbb R^3$。其速度向量為 $r'(t)$，速率為 $v(t)=\|r'(t)\|$。速率非零處稱曲線正則。對 $C^1$ 曲線，從 $a$ 到 $b$ 的弧長為

$$L=\int_a^b\|r'(t)\|dt.$$

該公式是多邊折線長度的極限：$r'$ 的一致連續性使每條短弦與其切向位移之差，以區間長度乘 $r'$ 的振幅為界；劃分網格趨於零時，誤差之和消失。

對正則 $C^2$ 曲線，單位切向量為 $T=r'/\|r'\|$。弧長 $s$ 滿足 $ds/dt=v>0$，因此鏈式法則給出 $dT/ds=T'/v$。曲率為 $\kappa=\|dT/ds\|$。

對正則 $C^2$ 曲線，

$$\kappa=\frac{\|r'\times r''\|}{\|r'\|^3}.$$

證明。 寫 $r'=vT$，則 $r''=v'T+vT'$。對 $T\cdot T=1$ 求導得到 $T\cdot T'=0$，因此 $\|r'\times r''\|=v^2\|T'\|=v^3\kappa$。兩邊除以 $v^3$ 即可。$\square$

正則直線可以有零曲率。零速率則不同：沒有另行作幾何延拓時，曲率公式在那裡無定義。

3 螺旋線例題與參數的影響

對於 $r(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ 且 $a>0$，速度為 $(-a\sin t,a\cos t,b)$，速率為 $\sqrt{a^2+b^2}$。一周長度為 $2\pi\sqrt{a^2+b^2}$。加速度為 $(-a\cos t,-a\sin t,0)$，叉積模長為 $a\sqrt{a^2+b^2}$，因此

$$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}.$$

改用參數 $t=2u$ 時，速度變為兩倍、加速度變為四倍，但曲率不變：分子縮放 $2^3$ 倍，分母也縮放 $2^3$ 倍。曲率是幾何性質；速率依賴時間安排。若坐標單位是長度，則曲率單位是長度的倒數。

曲線 $r(t)=(t^3,0,0)$ 描繪直線，但在零處速度為零。軌跡本身簡單；該參數在原點不正則。公式的分母可能揭示參數問題，而非幾何尖角。

幾何所用的 Cauchy–Schwarz 不等式

若 $v=0$，則 $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$ 兩邊相等。若 $v\ne0$，在 $t=(u\cdot v)/\|v\|^2$ 處展開非負平方，得 $0\le\|u-tv\|^2=\|u\|^2-(u\cdot v)^2/\|v\|^2$。乘以 $\|v\|^2>0$ 並開平方即得結論。等號成立當且僅當 $u=tv$，也即兩向量線性相關，包含任一向量為零的情況。這證明了定義角度與估計投影長度所用的不等式。

緊區間上弧長公式的完整證明

假設 $a<b$、$r\in C^1([a,b],\mathbb R^n)$。下面的定義及證明允許速率為零。

1. 先定義長度，再將其化為積分

對於 $r:[a,b]\to\mathbb R^n$，將長度定義為所有有限分割 $a=t_0<\cdots<t_m=b$ 對應折線和 $\sum_i\|r(t_i)-r(t_{i-1})\|$ 的上確界。上確界允許任意精細的折線近似；單一的端點弦通常只是一個下界。

定理：$C^1$ 長度公式

對緊區間上的 $C^1$ 曲線，

$$L(r)=\int_a^b\|r'(t)\|\,dt.$$

上界。 在一個子區間上，向量形式的微積分基本定理給出位移 $d=\int r'(t)dt$。若 $d\ne0$，與其單位方向取點積得到 $\|d\|\le\int\|r'(t)\|dt$；若 $d=0$，該不等式立即成立。對任意分割求和，得到折線長度不超過速率積分。

下界。 $r'$ 的一致連續性表明：對任意 $\eta>0$，足夠細的分割使每個子區間上 $\|r'(t)-r'(\xi_i)\|<\eta$，其中 $\xi_i$ 是該子區間的任意選定樣本點。因此其位移與 $r'(\xi_i)\Delta t_i$ 之差的向量範數至多為 $\eta\Delta t_i$。反三角不等式給出弦長至少為 $\|r'(\xi_i)\|\Delta t_i-\eta\Delta t_i$。速率本身在子區間上變化至多為 $\eta$，所以其積分與該樣本值之差至多為 $\eta\Delta t_i$。求和得折線長度至少為速率積分減去 $2\eta(b-a)$。由於 $\eta$ 可以任意小，上確界達到積分值。這同時證明兩個方向，而不是只證明常見的弦長上界。

該公式不需要正則性：$C^1$ 曲線可以停下。將弧長反解作為坐標時，正則性才成為關鍵。

4 分級練習

E1 基礎。 求經過 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ 的平面及其到原點的距離。

E2 幾何。 求 $(1,2,3)$ 到直線 $t(1,0,1)$ 的距離。

E3 曲線。 對 $r(t)=(3\cos t,3\sin t,4t)$，求速率、一周長度和曲率。

E4 證明。 對正則 $C^2$ 曲線，當 $\kappa>0$ 且 $N=T'/\|T'\|$ 時，證明加速度分解為 $r''=v'T+v^2\kappa N$。

5 完整解答

S1. 法向量為 $(1,1,1)$，平面為 $x+y+z=1$，到原點的距離為 $1/\sqrt3$。

S2. $q$ 在方向向量上的投影系數為 $(q\cdot v)/(v\cdot v)=4/2=2$。最近點為 $(2,0,2)$；殘差 $(-1,2,1)$ 的範數為 $\sqrt6$。叉積公式給出相同結果。

S3. 速率為 5，長度為 $10\pi$，曲率為 $3/25$。速率恆定不意味著加速度為零：切線方向仍在變化。

S4. 對 $r'=vT$ 求導得 $v'T+vT'$。由定義 $\|T'\|=v\kappa$，且 $T'=v\kappa N$，得到公式。切向加速度改變速率，法向分量改變方向。當 $\kappa=0$ 時，$N$ 未必有定義，但向量 $vT'$ 仍有定義。

總結

點積和叉積編碼角度、投影、面積與體積。對正則曲線求導得到速率與切線幾何；對弧長求導得到曲率。應區分幾何性質與依賴參數的量，並檢查速率非零假設。