2.1 黎曼積分與微積分基本定理

上和與下和

學習目標與定義

推導可積性結論背後的證明，並區分有界與可積。設 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。對分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，記 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，並定義 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下積分 $\underline I$ 是所有下和的上確界，上積分 $\overline I$ 是所有上和的下確界。加細分割使下和不減、上和不增。

對任意兩個分割 $P,Q$，由其公共加細得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保證這些量有限。上下積分相等時，稱函數 Riemann 可積。

定理：Darboux 判據

有界函數可積，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

證明。 若上下積分均等於 $I$，由上下確界逼近性質，取一個大於 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一個小於 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它們的公共加細的上下和之差小於 $\varepsilon$。反之，若對每個正的 $\varepsilon$ 都有這樣的分割，則不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下積分之差為零。

定理：有界單調函數可積

對非遞減函數 $f$，取由 $n$ 個小區間組成、寬度為 $(b-a)/n$ 的均勻分割。第 $i$ 個區間上的下確界與上確界分別是兩端點處的值，因此

$$U-L=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})] =\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}\longrightarrow0.$$

即使 $f$ 有跳躍不連續點，判據仍證明其可積。對非遞增函數，可將結果應用於 $-f$。

定理：允許有限個不連續點

若 $f$ 有界，且除至多有限個點外處處連續，則它可積。

證明。 設 $|f|\le M$，並取 $M>0$。用有限個小區間圍住例外點，將其端點加入分割，使這些區間總長度小於 $\varepsilon/(4M)$；在 $[a,b]$ 的端點處採用單側區間。它們對上下和之差的貢獻至多是總長度的 $2M$ 倍，因而小於 $\varepsilon/2$。剩餘的有限個閉區間上，$f$ 連續，故一致連續。將各區間充分加細，使所得每個小區間上的振幅小於 $\varepsilon/[2(b-a)]$，則其上下和差的總貢獻小於 $\varepsilon/2$。合併全部分割點，得到小於 $\varepsilon$ 的差。若某例外區間的端點本身是例外點，稍微移動該端點，使實際例外點都在所選區間內部或定義域端點，從而剩餘閉區間上仍連續。

證明

為何連續性足夠

緊緻區間上的連續函數一致連續。給定 $\varepsilon>0$ 且 $b>a$，選 $\delta$，使距離小於 $\delta$ 的點，其函數值之差小於 $\varepsilon/(2(b-a))$。取網格小於 $\delta$ 的分割，每個子區間的振幅至多為該界，故 $U-L<\varepsilon$。由達布判據可積。當 $a=b$，約定積分為零。

例題

有界但不可積的函數

令 $f(x)=1$ 當 $x\in[0,1]$ 為有理數，$f(x)=0$ 當它為無理數。兩類數都稠密，故每個非退化子區間的上確界為 $1$、下確界為 $0$。每個上和為 $1$、下和為 $0$，判據失敗，因此此有界函數不黎曼可積。

微積分基本定理

定理

積分與導數

若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，累積函數 $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ 在 $(a,b)$ 可微，且 $F'(x)=f(x)$。若 $G$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微，且對 $x\in(a,b)$ 有 $G'(x)=f(x)$，則 $\int_a^b f(x)dx=G(b)-G(a)$。

證明

平均值估計

對充分小且非零、使 $x+h\in[a,b]$ 的 $h$，

$$\frac{F(x+h)-F(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}[f(t)-f(x)]dt.$$

由連續性，右側絕對值可任意小；採用定向積分慣例，負 $h$ 亦然。因此 $F'=f$。函數 $G$ 與 $F$ 均在 $[a,b]$ 連續，且差 $G-F$ 在 $(a,b)$ 上導數為零，由中值定理為常數；計算端點即得第二個結論。

例題

積分連續函數

對 $[0,2]$ 上的 $f(x)=2x+1$，$G(x)=x^2+x$ 是原函數。定理給 $\int_0^2(2x+1)dx=G(2)-G(0)=6$。原函數捷徑依賴該定理，而不是積分的定義。

方法比較

證可積性或構造反例時用上下和。連續函數可利用一致連續性控制振幅。確定可積且有原函數後，用基本定理有效計算積分。有界本身不保證黎曼可積。

練習

1. 用基本定理求 $\int_0^1 3x^2\,dx$。
2. 為何 $[0,1]$ 上每個連續函數都黎曼可積？
3. 對上述有理數指示函數，求任意分割的上下和。
4. 若 $F(x)=\int_0^x\cos t\,dt$，求 $F'(x)$。

詳解

1. 原函數是 $x^3$，故答案為 $1$。
2. 緊緻區間上的連續性蘊含一致連續，因此存在上下和差任意小的分割。
3. 每個子區間都有有理數及無理數，故 $M_i=1,m_i=0$，所以 $U=1,L=0$。
4. 由餘弦函數連續及基本定理第一部分，$F'(x)=\cos x$。

總結

達布和藉受控的上下近似定義積分。一致連續性保證連續函數可積，而基本定理把累積面積與微分連起來。