微积分基础笔记

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1. 极限

1.1 极限的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若存在常数 $L$，对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - L| < \epsilon$，则称 $L$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作：

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$

1.2 重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

2. 导数

2.1 导数的定义

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

2.2 基本求导公式

| 函数 | 导数 | |------|------| | $x^n$ | $nx^{n-1}$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | | $\sin x$ | $\cos x$ | | $\cos x$ | $-\sin x$ |

3. 积分

3.1 不定积分

若 $F'(x) = f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数：

$$\int f(x) dx = F(x) + C$$

3.2 定积分

牛顿-莱布尼茨公式：

$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

3.3 重要积分公式

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$ $$\int e^x dx = e^x + C$$ $$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

4. 泰勒展开

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$$

常用展开式：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$ $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$ $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$